Как решать задачи на вероятность?
Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей - от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?
Вероятность. Что это?
Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.
Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.
Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события - явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.
Вероятность - это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 - событие практически невозможно, 1 - событие практически достоверно, 0,5 (или "50 на 50") - с равной вероятностью событие произойдет или нет.
Алгоритм решения задач на вероятность
Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.
А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.
- Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
- Найти основной вопрос задачи вроде "вычислить вероятность того, что ..." и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
- Событие записано. Теперь надо понять, к какой "схеме" теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
- происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
- если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
- событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).
- Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
- Вуаля, вероятность найдена.
Как решать задачи: классическая вероятность
Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».
Начинаем решение по пунктам, описанным выше.
- В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
- Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
- Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
- Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов - число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_{30}^3=\frac{30!}{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших "2". Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$
- Получаем вероятность: $$P(X)=\frac{m}{n}=\frac{10}{4060}=0,002.$$ Задача решена.
Еще: Решенные задачи на классическое определение вероятности.
Некогда решать? Найди решенную задачу
Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:
Как решать задачи: формула Бернулли
Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?
Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:
- В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний - бросаний монеты.
- Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
- Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_{n}(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$$
- Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
- Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_{8}(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^{8-5}=\frac{8!}{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.
Еще примеры: Решенные задачи на формулу Бернулли
И это все? Конечно, нет.
Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!
Полезные статьи по теории вероятностей
- Как найти математическое ожидание случайной величины?
- Как найти дисперсию случайной величины?
- Как найти вероятность в задачах про выстрелы?
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных костей?
- Как найти вероятность в задачах про станки?
- Как найти вероятность в задачах про надежность схем и цепей?
- Как найти вероятность наступления хотя бы одного события?
