Примеры решений тройных интегралов
В этом разделе вы найдете подробные решения, связанные и вычислением и применением тройных интегралов: от непосредственного вычисления (в декартовых, цилиндрических, сферических координатах), до применения к нахождению объемов тел, массы, моментов и т.п. Примеры сгруппированы по темам:
Тройные интегралы: примеры решений
Задача 1. Вычислить тройной интеграл
$$\iiint_V x^2yz dx dy dz, \quad V: -1 \le x \le 2, 0\le y \le 3, 2 \le z \le 3. $$Задача 2. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл
$$\iiint_V x^2 dxdydz, \quad V: x^2+y^2+z^2=R^2,\, z\ge 0, x\gt 0.$$Задача 3. Переходя к цилиндрическим координатам вычислить интеграл
$$\iiint_V x^2 dxdydz, \quad V: x^2+y^2=x,\, z=x^2+y^2, z=0.$$Задача 4. Решить тройной интеграл двумя способами (цилидрическая и сферическая замена координат)
$$\iiint_G(x^2+y^2+z^2)^2 dxdydz,\quad G=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le a^2,x+z\ge0\}$$Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.
Объемы тел: примеры решений
Задача 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями (внутри цилиндра).
$$z=\sqrt{100-x^2-y^2},\, z=6,\, x^2+y^2=51$$Задача 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
$$x^2+y^2=9x, x^2+y^2=12x, z=\sqrt{x^2+y^2}, z=0, y \ge 0.$$Задача 7. Вычислить тройным интегрированием объем тела, ограниченного данными поверхностями:
$$z=2-x, z=0, y=\sqrt{x}, y=\frac{1}{4}x^2.$$Задача 8. Найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями и поверхностью
$$ \left(\frac{x}{a}+ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)^3 = \sin \left(\pi \frac{\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}}{\frac{x}{a}+ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} } \right) $$Задача 9. Найти объем тела, ограниченного поверхностью $x^2+y^2+z^2=2x+3y$.
Моменты, масса тела: примеры решений
Задача 10. Найти статический момент относительно $xOy$ однородного тела, ограниченного поверхностью $$(x^2+y^2+z^2 )^3=\frac{x^2+y^2}{z^2} $$ с плотностью $z=0$ $(z \ge 0)$.
Задача 11. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости $xOy$, а ось симметрии совпадает с осью $Oz$, если заданы радиус основания $R$, высота цилиндра $H$ и функция плотности $\gamma(\rho)$, где $\rho$ – полярный радиус точки.
$$ R=2, H=0,5, \gamma=2+\rho^2+\rho^3.$$Задача 12. Найти массу тела, заданного системой неравенств, если плотность тела в каждой точке задана функцией $\mu$.
$$ \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} \ le z \le \sqrt{4-x^2-y^2}, \quad \mu =\frac{5}{8}z. $$Задача 13. Найти момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного заданными поверхностями.
$$z=-x^2-y^2, z=x^2+y^2-8$$
