Нормально распределенная случайная величина
На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ - распределенных по нормальному закону (или закону Гаусса).
Нормальное распределение часто встречается в природе - это погрешности измерений, отклонения при стрельбе, показатели живых популяций в природе. Помимо этого, нормальным распределением в пределе можно моделировать биномиальное и пуассоновское.
А центральная предельная теорема позволяет применить нормальный закон еще к сотням изучаемых явлений: "Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному."
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются нормально распределенные случайные величины. Учитесь легко!
Примеры решений
Задача 1. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.
1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.
2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?
Задача 2. Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина $X$ с параметрами $a=161$ см и $\sigma=4$ см.
1) Найти функцию плотности вероятности случайной величины $X$ и построить её график.
2) Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.
3) Сформулировать правило трёх сигм для случайной величины $X$.
Задача 3. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г?
Задача 4. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16.2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.
Задача 5. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.
а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля.
б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля.
в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.
Задача 6. Станок изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение $X$ диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая, что случайная величина $X$ распределена нормально со средним квадратическим отклонением $\sigma = 0,25$ мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Задача 7. Требуется найти вероятности того, что нормально распределённая случайная величина $X \in N (a, \sigma)$, где $a=4$ - математическое ожидание, $\sigma=5$ - среднее квадратичное отклонение случайной величины $X$, принимает значения:
а) в интервале (2,8);
б) меньшее 2;
в) большее 8;
г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на 10%.
Задача 8. Случайная величина X распределена по нормальному закону $N[-1,2]$. Вычислить
1) вероятность того, что $X\in[-6,1]$
2) вероятность того, что при пяти испытаниях три раза $X\in[M,M +D]$.
Задача 9. С.в. $Y$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 2, и средним квадратическим отклонением, равным 1. Пусть $X=2Y+5$. Найдите вероятности $P(X \gt 10)$, $P(2\lt X \lt 5)$, $P(X=3)$.
Напишите функции плотности и распределения для $X$ и постройте их графики. Как выглядит правило «трех сигм» для с.в. $X$?
Задача 10. Заданы функция плотности нормального распределения $f(x)=A e^{-9(x-0.5)^2/8}$ и интервал $(0,3; 1,9)$. Требуется:
1) найти математическое ожидание $m$
2) найти среднее квадратическое отклонение $\sigma$ и дисперсию $D$
3) найти неизвестный коэффициент $A$
4) найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
5) построить график функции плотности и на нём отметить площадь, равную найденной вероятности.
Задача 11. Плотность распределения вероятностей нормальной случайной величины $X$ имеет вид $f(x)=\gamma e^{-x^2+6x+3}$. Требуется найти:
А) неизвестный параметр $\gamma$,
Б) математическое ожидание $M[X]$ и дисперсию $D[X]$,
В) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал (3, 4),
Г) вероятность выполнения неравенства $|X-M[X]| \lt 0.2$.
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 16000 решенных и оформленных задач по теории вероятности (из них более 500 о нормальных случайных величинах):
